Rumus Gradien Beserta Contoh Soal dan Pembahasannya

Pengertian gradien

Gradien atau sering disebut gradien garis adalah nilai yang menunjukkan kemiringan suatu garis lurus. Gradien berhubungan dengan persamaan garis dan dapat dituliskan sebagai y = mx + c. Cara mencari gradien y=mx+c adalah dengan memahami notasi gradien dalam rumus tersebut.

Gradien dinotasikan dengan huruf “m” pada persamaan garis di atas. Gradien digunakan untuk menentukan seberapa miring suatu garis pada titik koordinatnya. Kemiringan ini dapat berupa miring ke kanan atau miring ke kiri maupun landai atau curam. Garis yang miring ke kanan memiliki gradien yang bernilai positif, sementara garis yang miring ke kiri bernilai negatif.

Rumus gradien melalui 1 titik

Rumus gradien melalui 1 titik merupakan rumus gradien yang melalui titik pusat. Untuk menentukan  gradien dari suatu garis lurus yang melalui titik pusat (0, 0), dapat diketahui melalui persamaan garis lurus y = ½x. 

Perbandingan antara komponen y dan komponen x pada masing-masing ruas garis memiliki bilangan yang sama. Maka, gradien dari garis y = ½x adalah ½. Besar gradien garis dengan persamaan garis y = mx adalah besarnya koefisien x. Dengan demikian, besarnya koefesien x adalah sama dengan m.

Dengan demikian, rumus gradien melalui 1 titik adalah m = y/x.

BACA JUGA: 8+ Jenis-jenis Bangun Datar Beserta Ciri-ciri dan Gambarnya

Rumus gradien 2 titik

Rumus gradien melalui 2 titik digunakan ketika akan menentukan gradien suatu garis yang melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2). Anggaplah ada garis AB yang melalui dua titik yaitu titik ujung bawah (x1, y1) dan titik ujung atas (x2, y2). Seperti penjelasan sebelumnya mengenai persamaan garis, bahwa gradien suatu garis dapat dicari dengan menggunakan perbandingan komponen y dan komponen x ruas garis tersebut.

Dengan demikian, komponen yAB pada garis tersebut adalah:

yAB = y2 – y1

Sementara untuk komponen xAB pada garis tersebut adalah:

xAB = x2 – x1

Perbandingan komponen y dan x adalah:

yAB/xAB = (y2 – y1) / ( x2 – x1)

yAB/xAB = mAB

yAB/xAB = ∆y/∆x

Berdasarkan persamaan di atas, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) dapat dirumuskan sebagai:

m = ∆y/∆x = (y2 – y1)/(x2 – x1)

Keterangan:

• ∆y = y2 – y1
• ∆x = x2 – x1

(∆ dibaca delta, merupakan selisih antara x2 dengan x1 atau y2 dengan y1).

Rumus gradien garis sejajar

Dua garis sejajar memiliki arti bahwa antara garis A dan garis B adalah saling sejajar. Oleh karena itu, gradien kedua garis tersebut akan memiliki nilai yang sama.

Rumus gradien garis sejajar adalah:

mA = mB

BACA JUGA: Rumus Luas Trapesium Lengkap Beserta Contoh Soalnya

Rumus gradien tegak lurus 

Rumus gradien tegak lurus dan sejajar adalah berbeda. Jika pada garis sejajar memiliki nilai yang sama, maka gradien tegak lurus memiliki nilai – 1. Nilai ini berasal dari hasil kali antara dua garis tegak lurus tersebut.

Rumus gradien tegak lurus adalah:

mA x mB = -1

Rumus gradien garis singgung

Persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) yang sudah disinggung oleh suatu garis pada titik (x1,y1) memiliki gradien pada garis singgung m = f'(x1). Sementara itu, x1 dan y1 mempunyai hubungan y1 = f(x1). Selanjutnya, persamaan pada garis singgungnya dapat dinyatakan dengan rumus y – y1 = m(x – x1).

Rumus gradien garis singgung kemudian dapat dinyatakan sebagai:

y – y1 = m(x – x1).

BACA JUGA: Rumus Tinggi Kerucut Beserta Contoh Soalnya

Contoh soal gradien garis lurus dan sejajar

1. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis y = 2x -7 dan melalui titik (3, 2)!

Jawab:

Garis y = 2x -7 memiliki gradien m₁ = 2. Garis lain yang sejajar dengan ini akan memiliki gradien sebesar:
m₂ = −¹/_m1

Jadi gradien garis itu adalah:
m = −¹/₂

Persamaan garisnya:
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2 = -1/2(x – 3)
-2(y – 2) = x – 3
-2y + 4 = x – 3
-2y – x + 7 = 0  Atau 2y + x – 7 = 0.

2. Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan garis y = 3x + 5 dan melalui titik (2, 1)!

Jawab:

Garis y = 3x + 5 memiliki gradien m = 3. Garis yang sejajar dengan ini juga memiliki gradien sebesar 3.

Sehingga:
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = 3(x – 2)
y – 1 = 3x -6
y = 3x – 5 atau y – 3x + 5 = 0.

3. Garis G tegak lurus dengan garis yang memiliki persamaan y = 8x +6. Tentukan gradien garis G!

Jawab:

Diketahui : garis G tegak lurus dengan garis degan persamaan garis lurus y = 8x +6.

Ditanyakan : gradien (m) garis G?

Dijawab :
Dua garis yang saling tegak lurus maka hasil kali gradiennya adalah -1, maka m1 x m2 = -1.
m1 = 8

m1 x m2 = -1
8 x m2 = -1
m2 = -1/8.

Jadi, gradien garis G adalah -1/8.

4. Hitunglah persamaan garis yang melalui titik (3, 1) dan sejajar garis y = 4x + 5?

Jawab:

Gradien garis tersebut dapat diselesaikan dengan rumus gradien garis sejajar yang menyatakan mA = mB. Dengan demikian, garis y = 4x + 5, memiliki nilai m = 4.

Maka,
y – y1 = m(x – x1)
  y – 1 = 4(x – 3)
  y – 1 = 4x – 12
       y = 4x – 11
y – 4x = -11

Jadi, persamaan garis yang dibentuk dari soal di atas adalah y – 4x = -11.

Contoh soal dan pembahasan gradien garis singgung

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 – 3×2 – 5x + 10 apabila gradien garis singgungnya bernilai 4.

Jawab:

Langkah pertama.

Carilah titik singgung pada f(x) = x³ – 3x² – 5x + 10
f'(x) = 3x² – 6x – 5
m = f'(x)
4 = 3x² – 6x – 5
3x² – 6x – 9 = 0 (lalu bagi dengan 3)
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 ataupun x = -2

Bagi x = 3
y = x³ – 3x² – 5x + 10
y = 3³ – 3(3)² – 5(3) + 10
y = 27 -27 – 15 + 10
y = -5
Jadi, titik singgung yang pertama adalah (3,-5).

Bagi x = -2
y = x³ – 3x² – 5x + 10
y = (-2)³ – 3(-2)² – 5(-2) + 10
y = -8 – 12 + 10 + 10
y = 0
Jadi, titik singgung yang kedua adalah (-2,0).

Langkah kedua.

Menentukan sebuah persamaan dari garis singgung.
Bagi titik singgung yang pertama (3,-5)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17

Bagi titik singgung yang kedua (-2,0)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8

Jadi terdapat dua persamaan garis singgung yaitu:
y = 4x -17 dan y = 4x + 8

Itulah beberapa rumus gradien beserta contoh soal dan pembahasannya. Selamat belajar, ya!