Salah satu materi dalam ilmu matematika yaitu logaritma. Materi ini merupakan kebalikan dari materi pemangkatan atau eksponensial. Secara sederhana, logaritma digunakan untuk mencari besaran pangkat dari suatu bilangan yang telah diketahui hasil pangkatnya.
Fungsi logaritma dalam kehidupan sehari-hari juga sangat penting. Selain digunakan dalam ilmu pengetahuan, ilmu ini juga dapat digunakan untuk mengukur laju pertumbuhan penduduk hingga mengukur tingkat keterangan dari suatu bintang.
Penjelasan lebih lanjut mengenai logaritma dapat disimak pada artikel berikut ini. Simak baik-baik, ya, Sedulur!
BACA JUGA: Rumus Luas Permukaan Kubus Beserta Contoh Soalnya
Pengertian
Definisi logaritma dapat diketahui sebagai invers dari eksponen atau pemangkatan. Dengan kata lain, logaritma adalah suatu invers atau kebalikan dari pemangkatan yang digunakan dalam menentukan besaran pangkat pada sebuah bilangan pokok. Sederhananya, ilmu logaritma digunakan untuk mencari besaran pangkat dari suatu bilangan yang telah diketahui hasil pangkatnya.
Ketika akan mencari nilai logaritma suatu bilangan, maka sama artinya dengan mencari pangkat dari suatu bilangan pokok. Oleh karena itu, hasilnya akan sesuai dengan yang telah diketahui. Untuk mencari logaritma suatu bilangan, dapat digunakan tabel logaritma biasa atau menggunakan beberapa sifat atau rumus identitas logaritma. Rumus tersebut dapat digunakan untuk menentukan nilai logaritma suatu bilangan dengan syarat atau kondisi tertentu.
Fungsi
Fungsi logaritma digunakan dalam ilmu matematika maupun ilmu pengetahuan alam (IPA). Logaritma juga digunakan pada ilmu kimia untuk menentukan orde reaksi maupun memilih koefisien serap bunyi yang pas. Tidak hanya itu, logaritma juga dipakai dalam mengukur laju pertumbuhan penduduk dan keuangan dalam menghitung bunga majemuk serta dalam bidang astronomi, logaritma dipakai sebagai alat perhitungan dalam mengukur tingkat keterangan dari suatu bintang.
Logaritma banyak dimanfaatkan dalam sebuah kehidupan sehari-hari. Sebelum adanya kalkulator, logaritma dimanfaatkan untuk menghitung perhitungan eksponensial. Konsep logaritma juga dapat dipakai untuk melakukan perhitungan seismograf maupun alat pengukur kekuatan gempa, yang mana satuan skala richter memakai konsep logaritma di dalam perhitungannya.
BACA JUGA: Rumus Prisma Segitiga Beserta Sifat-Sifat & Contoh Soalnya
Bentuk logaritma
Untuk lebih memahami materi ini, simak bentuk umum logaritma berikut.
ax = b ↔ x alog b
Dengan syarat b > 0, a > 0 dan a ≠ 1
Keterangan:
a= bilangan pokok atau basis logaritma
b= numerus, yaitu bilangan yang akan dicari nilai logaritmanya
x= hasil logaritma, dapat positif, nol atau bahkan negatif.
Rumus
Berikut adalah rumus identitas dalam mencari nilai logaritma.
alog an = n
alog a = 1
alog 1 = 0
Pembuktian ketiga rumus di atas adalah sebagai berikut
alog an = n → an = an
alog a = 1 → a1 = a
alog 1 = 0 → a0 = 1
BACA JUGA: Balok: Pengertian, Sifat, Ciri-Ciri, Rumus dan Contoh Soalnya
Persamaan
Persamaan logaritma adalah persamaan yang peubahnya terdapat dalam bilangan pokok atau numerusnya.
Macam-macam bentuk persamaan logaritma :
- alog f(x) = alog p
- f(x)log a = g(x)log a
- alog f(x) = alog g(x)
- f(x)log g(x) = f(x)log h(x)
- alog f(x) = blog f(x)
- A(alog x)2 + B(alog x) + C = 0
- f(x)log g(x) = p
Contoh : log (3x – 1) = log (x – 15) dan x-1log 16 = 2.
Sifat logaritma
Berikut adalah beberapa sifat logaritma tersebut.
Sifat 1 (Perkalian logaritma)
alog (b × c) = alog b + a log c
Sifat 2 (Pembagian logaritma)
alog (b/c) = alog b − a log c
Sifat 3 (Perpangkatan logaritma)
alog bn = n x alog b
Sifat 4 (Pengubahan bilangan pokok logaritma 1)
alog b = n log b/n log a
Sifat 5 (Pengubahan bilangan pokok logaritma 2)
alog b = 1/ blog a
Sifat 6 (Perluasan sifat perkalian logaritma)
alog b × blog c = alog c
Sifat 7 (Perluasan sifat perpangkatan logaritma 1)
anlog bm = m/n × alog b
Sifat 8 (Perluasan sifat perpangkatan logaritma 2)
anlog bm = alog b
Sifat 9 (Perluasan dari bentuk umum logaritma)
aalog b = b
Sifat 10 (Invers pembagian logaritma)
alog (b/c) = − alog (c/b)
BACA JUGA: Jajar Genjang: Pengertian, Sifat, Rumus & Contoh Soalnya
Pembuktian logaritma
Berikut adalah pembuktian dari sifat-sifat logaritma di atas.
Pembuktian sifat 1
Misalkan
alog b = n maka an = b
alog c = m maka am = c
b × c = an × am
dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh
b × c = an + m sehingga
alog (b × c) = n + m, karena n = alog b dan m = alog c maka
alog (b × c) = alog b + a log c
Pembuktian sifat 2
Misalkan
alog b = n maka an = b
alog c = m maka am = c
b/c = an /am
dengan menggunakan sifat operasi hitung bilangan berpangkat diperoleh
b/c = an − m sehingga
alog (b/c) = n − m, karena n = alog b dan m = alog c maka
alog (b/c) = alog b − a log c
Pembuktian sifat 3
Dari sifat 1 logaritma,
a log b + a log b = alog (b × b)
2 alog b = alog b2
Dengan cara yang sama:
alog b2 + a log b = alog (b2 × b)
2 alog b + alog b = alog b3
3 alog b = alog b3
Dengan cara yang sama:
alog b3 + alog b = alog (b3 × b)
3 alog b + alog b = alog b4
4 alog b = alog b4
Dengan demikian dapat disimpulkan:
n a log b = alog bn
atau
alog bn = n × alog b
Pembuktian sifat 4
alog b = m maka b = am
nlog b = nlog am
nlog b = m × nlog a
m = nlog b/ nlog a
alog b = n log b/ n log a
Pembuktian sifat 5
Sifat logaritma yang ke-5 ini adalah sifat logaritma ke-4 dengan n = b.
alog b = n log b/ n log a
alog b = blog b/ blog a
alog b = 1/ blog a
Pembuktian sifat 6
Dengan menggunakan sifat logaritma nomor 4 di atas maka:
alog b = n log b/n log a
blog c = nlog c/nlog b
sehingga
alog b × blog c = (nlog b/nlog a) × (nlog c/nlog b)
alog b × blog c = nlog c/ nlog a
alog b × blog c = alog c
Pembuktian sifat 7
Misalkan
anlog bm = c maka (an)c = bm
(an)c = bm
an×c = bm
b = m√(anc)
b = a nc/m (bentuk pangkat ini kita ubah menjadi bentuk logaritma)
alog b = nc/m (ruas kanan dan kiri dikalikan m/n)
m/n × alog b = c
anlog bm = m/n × alog b
Pembuktian sifat 8
Sama dengan pembuktian sifat 7 logaritma.
Pembuktian sifat 9
Misalkan alog b = c maka ac = b, sehingga
aalog b = ac = b
aalog b = b
Pembuktian sifat 10
Sifat 10 logaritma dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat 2 logaritma, pembuktiannya adalah sebagai berikut:
alog (b/c) = alog b − alog c
alog (b/c) = − (alog c − alog b)
alog (b/c) = − {alog (c/b)}
alog (b/c) = − alog (c/b)
BACA JUGA: Rumus Keliling Lingkaran Beserta Contoh Soal & Pembahasan
Contoh soal
Berikut adalah contoh soal logaritma sesuai dengan sifat-sifatnya.
Sederhanakanlah:
- 2log 4 + 2log 8
- 5log ½ + 5log 50
Jawab:
- 2log 4 + 2log 8 = 2log (4 × 8) = 2log 32 = 5
- 5log ½ + 5log 50 = 5log (½ × 50) = 5log 25 = 2
Sederhanakanlah:
- 7log 217 − 7log 31
- log 0,05 − log 5
Jawab:
- 7log 217 − 7log 31 = 7log (217/31) = 7log 7 = 1
- log 0,05 − log 5 = log (0,05/5) = log 0,01 = −2
Sederhanakanlah:
- 2 log 25 – 3 log 5 + log 20
- ½ 2log 82 – 3 2log 3 + 2log 48
Jawab:
- 2 log 25 – 3 log 5 + log 20
= log 252 – log 53 + log 20
= log (252/53) + log 20
= log 5 + log 20
= log (5 × 20)
= log 100
= 2
- ½ 2log 82 – 3 2log 3 + 2log 48
= 2log 82½ – 2log 33 + 2log 48
= 2log (9/27) + 2log 48
= 2log 1/3 + 2log 48
= 2log (1/3 × 48)
= 2log 16 = 4
Soal:
Jika 2log 3 = a, nyatakan bentuk logaritma 8 log 3 ke dalam a.
Jawab:
8log 3 = log 3/log 8
8log 3 = log 3/log 23
8log 3 = 1/3 × (log 3/log 2)
8log 3 = 1/3 × 2log 3
8log 3 = 1/3 a
Soal:
Tentukan nilai dari 2log 8 dan 64 log 4!
Jawab:
- 2log 8 = 1/8log 2
2log 8 = 1/8log 81/3
2log 8 = 1/(1/3)
2log 8 = 3
- 64log 4 = 1/4log 64
64log 4 = 1/4log 43
64log 4 = 1/3
Soal:
Hitunglah nilai logaritma dari
- 2log 5 × 5log 64
- 2log 25 × 5log 3 × 3log 32
Jawab:
- 2log 5 × 5log 64 = 2log 64 = 2log 26 = 6
- 2log 25 × 5log 3 × 9log 32
= 2log 52 × 5log 3 × 3log 25
= 2 2log 5 × 5log 3 × 5 3log 2
= 2 × 5 × 2log 5 × 5log 3 × 3log 2
= 10 × 2log 2
= 10 × 1
= 10
Soal:
Hitunglah nilai logaritma dari
- a) 22log 43
- b) 24log √32
Jawab:
- a) 22log 43 = 3/2 × log 4 = 3/2(2) = 3
- b) 24log √32 = 24log 32½ = 1/8 × 2log 32 = 1/8 (5) = 5/8
Soal:
Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma 8log 27 ke dalam bentuk a
Jawab:
8log 27 = 23log 33 = 2log 3 = a
Sederhanakanlah:
- a) 22log 5
- b) 33log 4
- c) 55log 10
- d) 77log 25
Jawab:
- a) 22log 5 = 5
- b) 33log 4 = 4
- c) 55log 10 = 10
- d) 77log 25 = 25
Soal:
Tentukan nilai logaritma dari
- 2log (4/2)
- 4log (32/2)
Jawab:
- 2log (4/2) = −2log (2/4) = − 2log ½ = − 2log 2−1 = − (−1) 2log 2 = 1
- 4log (32/2) = −4log (2/32) = − 4log (1/16) = −4log 4-2 = − (−2) 4log 4 = 2
Nah, itulah informasi mengenai logaritma, beserta fungsi, rumus, dan persamaannya. Semoga dengan adanya contoh soal dan pembahasannya juga dapat membantu Sedulur dalam mempelajari ilmu matematika lebih baik lagi. Selamat belajar!
Mau belanja bulanan nggak pakai ribet? Aplikasi Super solusinya! Mulai dari sembako hingga kebutuhan rumah tangga tersedia lengkap. Selain harganya murah, Sedulur juga bisa merasakan kemudahan belanja lewat handphone. Nggak perlu keluar rumah, belanjaan pun langsung diantar.
Bagi Sedulur yang punya toko kelontong atau warung, bisa juga lho belanja grosir atau kulakan lewat Aplikasi Super. Harga dijamin lebih murah dan bikin untung makin melimpah.
