Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), relasi adalah istilah yang artinya hubungan, perhubungan, pertalian, kenalan, atau pelanggan. Maka dari itu, banyak orang mengartikan menjaga relasi adalah menjaga hubungan. Masih berkaitan dengan hal tersebut, arti relasi dalam matematika adalah hubungan himpunan satu dengan himpunan lainnya.
Sebagai contoh, ketika himpunan A dan himpunan B memiliki himpunan yang saling berpasangan, maka bisa dikatakan kedua himpunan tersebut memiliki relasi. Supaya lebih memahami relasi dalam ilmu matematika, selengkapnya tentang pengertian, sifat, jenis-jenis relasi beserta contoh soalnya akan dibahas di bawah ini. Yuk, simak!
BACA JUGA: Observasi: Pengertian, Tujuan, Jenis, Ciri-ciri dan Contohnya
Pengertian relasi
Istilah relasi paling sering muncul dalam pelajaran matematika. Pengertian relasi adalah suatu aturan yang menghubungkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Lantas, apa itu himpunan? Himpunan adalah kumpulan anggota yang berbeda dan terdefinisi dengan baik. Kumpulan anggota tersebut terbagi menjadi domain (wilayah, daerah, ranah) dan kodomain (daerah kawan).
Dalam matematika, anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal {}. Anggota aset dapat berupa angka, orang, huruf abjad, dan sebagainya. Lebih lanjut lagi, relasi ini sangat erat kaitannya dengan fungsi, di mana keduanya merupakan hal penting dalam berbagai cabang ilmu matematika. Jika relasi adalah hubungan antara domain dan kodomain, maka fungsi adalah pemetaan setiap anggota domain ke anggota kodomain.
Cara menyatakan relasi
Ada tiga cara untuk menyatakan relasi dari dua himpunan, antara lain menggunakan diagram panah, diagram kartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Berikut rincian setiap caranya.
- Diagram panah merupakan cara paling mudah menyatakan suatu relasi dalam matematika. Bentuk ini membuat pola dari suatu relasi ke dalam gambar arah panah yang menyatakan hubungan antara anggota himpunan A dengan himpunan B.
- Diagram kartesius adalah relasi yang menyatakan adanya dua himpunan dari pasangan berurutan, yang kemudian ditulis dalam bentuk dot (titik-titik).
- Himpunan pasangan berurutan adalah cara menyatakan relasi dengan memasangkan himpunan A dengan himpunan B secara berurutan.
Sifat relasi
Dalam relasi yang merupakan fungsi, sebuah relasi AxA atau relasi dari himpunan A kepada A sendiri, mempunyai beberapa sifat khusus. Lima sifat relasi secara umum adalah sebagai berikut.
- Refleksif
- Irefleksif
- Simetrik
- Anti-simetrik
- Transitif
BACA JUGA: Persamaan Kuadrat dalam Matematika Beserta Contoh Soalnya
Jenis-jenis relasi
Dari sifat-sifat relasi yang dijelaskan sebelumnya, relasi terbagi menjadi beberapa macam, antara lain relasi invers, relasi simetrik, relasi anti-simetrik, refleksif, transitif, relasi identitas, dan relasi ekivalen. Mari simak penjelasannya.
- Relasi invers bisa dilihat ketika suatu himpunan mempunyai elemen yang merupakan pasangan invers dari himpunan lain. Misalnya, himpunan A = {(a, b), (c, d)}, maka relasi inversnya adalah R -1 = {(b, a), (d, c)}. Jadi, relasi invers, R -1 = {(b,a): (a,b) R}.
- Relasi simetrik. Suatu relasi, R disebut simetrik jika tiap (a,b)R berlaku (b,a)R. Dalam artian, R disebut juga relasi simetrik jika a R b berakibat b R a. Contohnya, R = {(1,2), (2,1)} untuk himpunan A = {1, 2}. Jadi, untuk relasi simetris aRb bRa, a, b A.
- Relasi anti-simetrik atau relasi asimetris adalah relasi yang harus berlaku untuk beberapa pasangan pada kedua orde, dan hanya berlaku satu orde untuk beberapa pasangan lainnya. Sebagai gambaran, elemen a, b, c, d yang a ~ b, b ~ a, sedangkan c ~ d, tetapi d ~ c.
- Relasi refleksif, dalam jenis relasi ini setiap elemen memetakan dirinya sendiri seperti pertimbangan himpunan A = {1, 2}. Contoh refleksif adalah R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)}. Relasi refleksif yang diberikan (a, a)R.
- Relasi transitif, ketentuannya jika (x, y)R, (y,z)R, maka (x, z)R. Relasi transitifnya aRb dan bRc aRc a, b, c A.
- Relasi identitas, setiap elemen himpunan hanya terkait dengan dirinya sendiri. Misalnya, himpunan A = {a, b, c}, relasi identitasnya adalah I = {a, a}, {b, b}, {c, c}. Sementara relasi identitas I = {(a, a) a A}.
- Relasi ekivalen. Jika suatu relasi bersifat refleksif, simetris, dan transitif pada saat yang bersamaan, maka disebut ekivalen.
Perbedaan relasi dan fungsi
Setelah memahami pengertian relasi, mungkin sebagian Sedulur masih bingung membedakan relasi dengan fungsi. Secara umum, keduanya memang saling berkaitan. Perbedaan keduanya terletak pada cara memasangkan kelompok himpunan ke daerah asalnya.
Pada relasi, tidak ada aturan khusus dalam menghubungkan setiap anggota himpunan daerah asal ke daerah lain. Ketentuan tersebut hanya terhubung atas pernyataan relasi tersebut. Setiap anggota himpunan daerah asal bisa mempunyai pasangan lebih dari satu dan dapat pula tidak memiliki pasangan.
Di sisi lain, ketentuan fungsi pada setiap elemen himpunan daerah asal dihubungkan secara khusus. Fungsi mengharuskan setiap anggota himpunan daerah asal memiliki pasangan dan hanya satu pasangan saja di daerah lain. Bisa dibilang, sebuah relasi belum tentu menjadi bagian dari fungsi, namun setiap fungsi pasti menjadi bagian relasi.
BACA JUGA: 1 Ton Berapa Kg? Begini Cara Konversi dan Menghitungnya
Contoh soal 1
Himpunan P = {2, 3, 4, 6}, Q = {1, 2, 3, 4, 6, 8}, dan “faktor dari” adalah relasi yang menghubungkan antara himpunan P ke himpunan Q. Buatlah relasi ke bentuk himpunan pasangan berurutan.
Jawab:
{(2, 2)}, {(2, 4)}, {(2, 6)}, {(2, 8)}, {(3, 3)}, {(3, 6)}, {(4, 4)}, {(4, 8)}, {(6, 6)}.
Contoh soal 2
Taehyung memiliki hobi bermain sepak bola, sementara Jimin menyukai voli dan basket. Ada pula Jin yang menyukai basket dan sepak bola. Buatlah relasi himpunan pasangan berurutan.
Jawab:
{(Taehyung, sepak bola)}, {(Jimin, voli)}, {(Jimin, basket)}, {(Jin, basket)}, {(Jin, sepak bola)}.
Contoh soal 3
A adalah himpunan bilangan prima yang kurang dari 10. Diketahui B = {p, q, r}.
Tentukan:
- Banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan A ke himpunan B.
- Banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan B ke himpunan A.
Jawab:
A = {2, 3, 5, 7} sehingga banyak anggota A → n(A) = 4.
B = {p, q, r} sehingga banyak anggota himpunan B → n(B) = 3.
- Banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan A ke himpunan B = 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81.
- Banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan B ke himpunan A = 43 = 4 x 4 x 4 = 64.
Itulah pembahasan tentang relasi dalam ilmu matematika. Dalam kehidupan sehari-hari, relasi menjadi istilah yang berkaitan dengan hubungan antarsesama. Relasi di ilmu matematika merupakan cara untuk menghubungkan satu himpunan dengan himpunan lainnya. Semoga ulasan ini bermanfaat!
Mau belanja bulanan nggak pakai ribet? Aplikasi Super solusinya! Mulai dari sembako hingga kebutuhan rumah tangga tersedia lengkap. Selain harganya murah, Sedulur juga bisa merasakan kemudahan belanja lewat handphone. Nggak perlu keluar rumah, belanjaan pun langsung diantar. Yuk, unduh aplikasinya di sini sekarang!
Bagi Sedulur yang punya toko kelontong atau warung, bisa juga lho belanja grosir atau kulakan lewat Aplikasi Super. Harga dijamin lebih murah dan bikin untung makin melimpah. Langsung restok isi tokomu di sini aja!
