Permutasi dan kombinasi adalah bagian yang penting dalam perhitungan. Kedua hal tersebut adalah konsep matematika yang saling berkaitan. Dua konsep tersebut seringkali tertukar, terutama jika belum memahami dengan baik tentang dua konsep tersebut.
Nah agar Sedulur juga tidak tertukar antara permutasi dan kombinasi, tentu harus memahaminya dengan baik. Sedulur bisa menyimak penjelasannya di bawah ini dan pahami agar tidak tertukar, ya!
BACA JUGA: Gaya Pegas: Definisi, Rumus & Contohnya dalam Kehidupan
Definisi permutasi dan kombinasi
Seperti disinggung di atas, bahwa permutasi dan kombinasi adalah dua konsep dan rumus dalam matematika yang saling berkaitan satu sama lain. Keduanya merupakan rumus dan konsep yang digunakan untuk menghitung sesuatu.
Permutasi dapat diartikan sebagai cara untuk menyusun sejumlah objek dengan urutan tertentu. Sedangkan kombinasi nyaris sama seperti Permutasi, yaitu cara untuk menggabungkan sejumlah objek, tetapi untuk kombinasi tanpa adanya urutan.
Definisi permutasi
Kita mulai dengan permutasi, permutasi dapat diartikan sebagai cara untuk menyusun sejumlah objek dengan urutan tertentu. Objek tersebut disusun dengan urutan berdasarkan kategori tertentu.
Terdapat dua jenis permutasi, yaitu:
- Pengulangan dibolehkan: contohnya adalah kunci pin pada gawai sobat, angkanya bisa saja 2-4-4-9.
- Pengulangan tidak dibolehkan: contohnya adalah tiga pembalap pertama yang melewati garis akhir, tidak mungkin satu pembalap menjadi juara 1 dan juara 2 secara bersamaan.
Definisi kombinasi
Sementara itu, kombinasi hampir tidak memiliki perbedaan dengan permutasi, nyaris sama dengan permutasi. Kombinasi adalah cara untuk menggabungkan sejumlah objek namun tidak begitu bergantung pada urutan atau kategorisasi.
Terdapat dua jenis kombinasi, yaitu:
- Pengulangan dibolehkan: contohnya ketika sobat mengambil 3 bola dari suatu wadah yang berisi 3 bola merah dan 3 bola biru, bisa saja terambil 2 bola merah dan 1 bola biru.
- Pengulangan tidak dibolehkan: contohnya ketika sobat pintar memilih 2 orang dari kelompok beranggotakan 5 orang. Tidak mungkin orang pertama dan orang kedua adalah 1 orang yang sama.
Sejarah permutasi dan kombinasi
Dalam sejarahnya, konsep rumus permutasi dan kombinasi telah digunakan sejak lama oleh para ilmuwan dan bahkan beberapa ilmuwan telah mengenalkan konsep ini sejak lama sekali. Kabarnya, konsep permutasi dan kombinasi pertama kali digunakan di Tiongkok pada tahun 1000 SM, konsep permutasi dan kombinasi digunakan dalam sebuah heksagram di Yi Jing.
Lalu, ditemukan juga bahwa matematikawan dan kriptografer asal Arab Saudi bernama Al-Khali telah menggunakan permutasi dan kombinasi yang tercantum dalam bukunya yang berjudul The Book of Cryptographic Messages. Konsep tersebut digunakan untuk menyusun semua kemungkinan huruf Arab dengan atau tanpa huruf vokal.
Matematikawan asal India juga telah menggunakan konsep permutasi dan kombinasi. Bernama Bhaskara II yang mencetuskan permutasi dan kombinasi dalam budaya Lilavati pada 1150. Bhaskara II menjelaskan bahwa hasil kali dari perkalian barisan artimatikan yang diawali dan ditambah dengan satu lalu berlanjut ke bilangan tempat akan menjadi variasi bilangan dengan angka tertentu.
Berlanjut pada tahun 1677 seorang ilmuwan bernama Fabian Stedman menjelaskan jumlah permutasi lonceng dalam perubahan dering. Dilanjut dengan ilmuwan asal Italia, Joseph Lagrange pada tahun 1770an yang menemukan permasalahan yang harus diselesaikan dengan konsep permutasi yang kemudian konsepnya dijelaskan oleh Evariste Galois melalui teori Galois.
Permutasi dan kombinasi juga kabarnya merupakan pengembangan dari teori peluang yang dicetuskan oleh ilmuwan asal Prancis bernama Blaise Pascal pada 1654. Uniknya, teori peluang tersebut tercetus saat ia ingin mengetahui permasalahan yang ada di dalam perjudian.
Ketika itu, Pascal diminta oleh seorang penjudi Chevalier de Mere untuk menganalisa mengapa dia kalah dalam berjudi. Merespons permintaan itu, Pascal kemudian berdiskusi dengan ilmuwan lainnya, yakin Pierre de Fermat untuk menganalisis masalah tersebut.
Hasilnya, Pascal akhirnya menemukan bahwa ternyata sistem dari perjudian tidak akan pernah berpihak pada penjudi. Namun demikian, masih belum diketahui secara pasti siapa sebenarnya sosok yang memang menemukan konsep dari permutasi dan kombinasi.
Perbedaan permutasi dan kombinasi
Sebagai dua konsep dan rumah yang berbeda, tentu terdapat perbedaan di antara keduanya. Berikut ini adalah daftar dari perbedaan dari permutasi dan kombinasi, yaitu:
- Perbedaan yang paling jelas dari permutasi dan kombinasi sesuai dengan definisinya masing-masing, di mana keduanya berbeda caranya, permutasi dengan urutan, sedangkan kombinasi tidak.
- Selain soal urutan, permutasi dan kombinasi juga beda dalam penempatan dan posisi. Di mana di kombinasi tidak diperlukan.
- Permutasi biasanya digunakan untuk mengatur huruf, angka, benda, sampai orang. Sedangkan kombinasi biasanya digunakan dalam memilih satu item yang spesifik seperti menu makanan, pakaian, serta subjek.
- Dari segi jawaban antara permutasi dan kombinasi juga berbeda, dimana permutasi cenderung menanyakan berapa banyak urutan yang bisa disusun dari sebuah objek, sedangkan kombinasi adalah cara untuk menentukan berapa banyak kelompok yang berbeda yang dapat diambil.
Rumus permutasi
Setelah mengetahui definisi dan sejarah dari permutasi dan kombinasi, Sedulur juga harus mengetahui rumusnya. Terdapat tiga jenis rumus untuk permutasi itu sendiri. Pertama permutasi dengan unsur yang sama, permutasi dengan unsur berbeda dan permutasi siklis.
Agar Sedulur dapat memahami lebih lengkap lagi, berikut ini penjelasan lengkap terkait rumus dari jenis-jenis permutasi di atas, yaitu:
1. Permutasi dengan unsur yang sama
Pertama yaitu rumus permutasi dengan unsur yang sama. Rumus ini harus memperhatikan secara detail bahwa tidak diperbolehkan adanya kmungkinan yang sama atau diulang. Rumus permutasi unsur yang sama itu sendiri yaitu:
- nPr = n! / r! , r ≤ n
Keterangan:
- P = permutasi
- n = jumlah keseluruhan unsur
- a, b, c = unsur yang sama
- ! = nilai faktorial
2. Permutasi dengan unsur berbeda
Selanjutnya adalah permutasi dengan unsur berbeda yang terjadi ketika ada permintaan untuk memilih hanya sebagian objek dari keseluruhan objek yang tersedia. Rumus permutasi unsur berbeda itu sendiri adalah sebagai berikut:
- nPr = n! / (n-r)! , r ≤ n
Keterangan:
- n = banyaknya unsur
- r = banyaknya unsur yang ditanyakan
3. Permutasi siklis
Ketiga yaitu permutasi siklis atau permutasi melingkar. Permutasi ini digunakan untuk menyusun unsur berbeda dengan kondisi melingkar. Contoh sederhananya yaitu menentukan tempat duduk di dalam sebuah meja. Adapun rumusnya adalah sebagai berikut:
- Ps (n) = (n-1)!
Keterangan:
- Ps(n) = permutasi siklis
- n = unsur (banyaknya unsur)
Rumus kombinasi
Setelah mengetahui rumus permutasi di atas, melengkapi pembahasan terkait permutasi dan kombinasi. Selanjutnya kita bahas rumus kombinasi itu sendiri.
Kombinasi sendiri merupakan usunan dari sekelompok objek tanpa memperhatikan susunan atau urutannya. Kombinasi dapat disebut pengelompokan sejumlah unsur. Dalam konsep kombinasi AB = BA , ABC = ACB = CBA. Adapun rumusnya sendiri adalah:
Keterangan:
- C = Kombinasi
- n = Jumlah banyaknya objek
- k = Jumlah banyaknya objek yang diperintahkan
Permutasi dan kombinasi dalam kehidupan sehari-hari
Sedulur mungkin bertanya seperti apa contoh aktivitas dan kehidupan sehari-hari dari permutasi dan kombinasi dari kehidupan sehari-hari? Adapun contoh dan aplikasi dari permutasi dan kombinasi dalam kehidupan sehari-hari adalah sebagai berikut:
- Menentukan jumlah murid yang bisa mewakili sekolah untuk mengikuti lomba.
- Memecahkan kode loker, pin atm, password handphone.
- Menentukan kemungkinan pasangan dari kombinasi paket promo di dalam menu makanan.
- Menentukan susunan tempat duduk
- Memilih kombinasi pakaian
- Menentukan jadwal piket
- Menentukan pembagian pekerjaan dalam sebuah kelompok.
BACA JUGA: Rumus & Contoh Soal Perbandingan Senilai dan Berbalik Nilai
Contoh soal permutasi dan kombinasi
Agar Sedulur lebih mudah memahami lagi soal permutasi dan kombinasi. Tentu dengan mempelajari contoh soal membuat hal tersebut lebih mudah. Berikut ini terdapat beberapa contoh soal yang bisa Sedulur pelajari, yaitu:
Contoh soal 1
Sekolah akan mengirimkan 3 orang siswa untuk mengikuti perlombaan membaca puisi dalam menyambut Hari Pendidikan Nasional. Berapa cara yang dapat dilakukan oleh guru untuk menyeleksi 3 wakil sekolah yang akan dikirimkan jika terdapat 6 orang siswa yang mahir membaca puisi?
Diketahui:
- n = 6 orang siswa
- r = 3 orang siswa
Ditanya: nPr?
Jawab:
- nPr = n! / (n-r)!
- 6P3 = 6! / (6-3)!
- = 6!/3!
- = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 / 1 x 3 x 3
- = 4 x 5 x 6
- = 120
Jadi, banyaknya cara yang dapat dilakukan adalah 120 cara.
Contoh soal 2
Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi jika akan disusun 3 huruf yang diambil dari abjad A, B, C, D, E! Diketahui:
- n = 5
- r = 3
Ditanya: nPr?
Jawab:
- nPr = n! / (n-r)!
- 5P3 = 5! / (5-3)!
- = 5!/2!
- = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 / 1 x 2
- = 3 x 4 x 5
- = 60
Jadi, banyaknya permutasi adalah 60
Contoh soal 3
Tentukan banyaknya permutasi yang terjadi pada kata EMBER! Diketahui:
- n = 5 huruf
- r = 2 huruf
Ditanya: nPr?
Jawab:
- nPr = n! / r!
- 5P3 = 5!/2!
- = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 / 1 x 2
- = 3 x 4 x 5
- = 60
Jadi, banyaknya permutasi adalah 60.
Contoh soal 4
Lima orang anak sedang duduk melingkar di teras rumah sambil bermain boneka. Ada berapa susunan berbeda apabila anak-anak tersebut bertukar posisi duduk?
Jawab:
- n = 5
- Ps(n) = (n – 1)!
- P5(5) = (5 – 1)!
- = 4!
- = 1 x 2 x 3 x 4
- = 24
Jadi, banyaknya susunan kombinasi berbeda dari tempat atau posisi duduk anak-anak tersebut adalah 24 cara.
Nah itulah pembahasan lengkap terkait permutasi dan kombinasi. Semoga dengan penjelasan di atas, Sedulur jadi lebih memahami dua konsep penting dalam ilmu matematika dan diterapkan untuk setiap kegiatan sehari-hari, ya!
Mau belanja bulanan nggak pakai ribet? Aplikasi Super solusinya! Mulai dari sembako hingga kebutuhan rumah tangga tersedia lengkap. Selain harganya murah, Sedulur juga bisa merasakan kemudahan belanja lewat handphone. Nggak perlu keluar rumah, belanjaan pun langsung diantar.
Bagi Sedulur yang punya toko kelontong atau warung, bisa juga lho belanja grosir atau kulakan lewat Aplikasi Super. Harga dijamin lebih murah dan bikin untung makin melimpah.
